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Michael Weber

Lösung Teil 1

bullet  Gesamtkostenfunktion K mit K(x)=0,01x3-9x2+3000x+250000, xkap=850.

Die Gesamtkostenfunktion K ordnet jeder Ausbringungsmenge x die jeweiligen Kosten K(x) zu.

K ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Definitionsbereich [0; 850].

Der Schnittpunkt des Graphen von K mit der Ordinate liegt bei (0; 250000). Dies bedeutet, dass bei einer Produktionsmenge von 0 ME (hier: Maschinen) 250.000.- GE (hier z.B. €) Fixkosten anfallen; z. B. für die Miete der Fabrikhalle. Die fixen Kosten betragen also Kf=250.000 GE. 
Subtrahiert man die fixen Kosten von den Gesamtkosten so erhält man die  variablen Gesamtkosten Kv, es gilt Kv(x)=0,01x3-9x2+3000x . Zu den variablen Kosten gehören z. B. die Materialkosten. 

Der Graph von K ist s-förmig. Er ist streng monoton steigend (Nachweis mit Hilfe des Monotoniekriteriums), d. h., mit zunehmender Ausbringungsmenge (Produktionsmenge) nehmen auch die Gesamtkosten zu.

Im Wendepunkt von K ist die Steigung am geringsten. Hier würde es sich also lohnen die Produktionsmenge zu erhöhen, denn die Gesamtkosten steigen dabei nur unwesentlich. Der Wendepunkt kann mit Hilfe von K'' und K''' berechnet werden. 

Es gilt K'(x)=0,03x2-18x+3000,  K''(x)=0,06x-18 und K'''(x)=0,06. 
Hinreichend für das Vorliegen einer Wendestelle ist K''(xw)=0 und K'''(xw)0. 
Es gilt 0,06xw-18=0 , d. h. xw=300 und K'''(xw)=0,06>0, d. h., xw=300 ist eine Wendestelle von K. Wegen K(300)=610000 ist W(300/610000) Wendepunkt von K.

bullet Grenzkostenfunktion K'

Unter Grenzkosten versteht man in der Wirtschaftstheorie den Kostenzuwachs, der durch die Herstellung einer zusätzlichen (math.: unendlich kleinen) Ausbringungsmenge entsteht. Die Grenzkostenfunktion K' ist die 1. Ableitungsfunktion der Gesamtkostenfunktion K; sie besitzt die Gleichung  K'(x)=0,03x2-18x+3000. Das Minimum der Grenzkostenfunktion K' befindet sich an der Wendestelle von K, also bei 300 ME. An der Wendestelle von K sind die Grenzkosten minimal.

bullet Funktion der variablen Durchschnittskosten (Stückkostenfunktion) kv

Die variablen Stückkosten berechnet man, indem man die variablen Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also, x0. 
Also: kv(x)=0,01x2-9x+3000
Bei welcher Produktionsmenge sind die variablen Stückkosten am geringsten?
Hierzu ist das Minimum von kv zu bestimmen. 

Es gilt kv'(x)=0,02x-9 und kv''(x)=0,02.

Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von kv ist kv'(xmin)=0 und kv''(xmin)>0.

Diese Bedingungen werden von xmin=450 erfüllt. Diese Menge bezeichnet man als Betriebsminimum
Die variablen Stückkosten betragen im Betriebsminimum kv(450)=975
Würde man 975.-GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden bei einer Ausbringungsmenge von 450 Maschinen gerade noch die variablen Stückkosten gedeckt werden, nicht aber die Fixkosten. Dies kann sich ein Betrieb nur kurzfristig leisten. 
Man bezeichnet kv(xmin) als kurzfristige Preisuntergrenze puk.

bullet Stückkostenfunktion k 

Die Stückkosten berechnet man, indem man die Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also , x0. Also: k(x)=0,01x2-9x+3000+

Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten am geringsten?
Hierzu ist das Minimum von k zu bestimmen. 

Es gilt k'(x)=0,02x-9 - und k''(x)=0,02+.

Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von k ist k'(xopt)=0 und k''(xopt)>0.

Es gilt:

0,02xopt - 9 - =0 | *xopt2 , xopt0

0,02xopt3 - 9xopt2 - 250000=0 |: 0,02

xopt3 - 450xopt2 - 12500000=0

Mit Hilfe des Newton-Verfahrens oder eines netten kleinen Rechenprogramms erhält man xopt=500 als Lösung obiger Gleichung und es gilt k''(500)>0. Diesen Wert bezeichnet man als Betriebsoptimum.
Die  Stückkosten betragen im Betriebsoptimum k(500)=1500
Würde man 1500.-GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden alle Stückkosten bei einer Ausbringungsmenge von 500 Maschinen gedeckt werden. Dies kann sich ein Betrieb längerfristig leisten. 
Man bezeichnet k(xopt) als langfristige Preisuntergrenze pul.

Betriebsminimum bei 450 ME Betriebsoptimum bei 500 ME Minimum der Funktion der variablen Stückkosten (975 GE); Schnittpunkt der Grenzkostenfunktion mit der Funktion der variablen Stückkosten Minimum der Stückkostenfunktion (1500 GE); Schnittpunkt der Grenzkostenfunktion mit der Stückkostenfunktion Wendestelle der Gesamtkostenfunktion bzw. Minimalstelle der Grenzkostenfunktion bei 300 ME Minimum der Grenzkostenfunktion Kapazitätsgrenze bei 850 ME Suche die charakteristische Punkte und Werte !

Fahre mit dem Mauszeiger über die Graphik und erfahre die Zusammenhänge zwischen den Funktionen!

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